6/26、秋田県由利本荘市、鳥海ダムの建設予定地に行ってきました。


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子吉川
写真の場所はダム建設現場の上流にあたる。


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高台に上がってみると、鳥海ダムサイトビューポイントという看板があった。
どうやら、ここに鳥海ダムができるようだ。
赤白の縞々ポールはダム軸を表していると思われる。

数式とかを書くのに慣れよう~~っていうことで、明日群の定義とかの話をしゃべるので簡単にそういうのをダラダラとまとめていこう、みたいな記事。

 

定義$1$ 群とは

集合$G eqemptyset$上で二項演算$circ$が定義され、次の$(1)$から$(3)$までが成り立つとき$(G,circ)$は群であるという。

$(1)$(結合法則)$forall a,b,cin G, (acirc b)circ c=acirc (bcirc c)$である。

$(2)$(単位元の存在)$exists e_{G}in G,forall ain G,e_{G}circ a=acirc e_{G}=a$ 

$(3)$(逆元の存在)$forall ain G,exists xin G, xcirc a=a circ x=e_{G}$

$(2)$の$e_{G}$を$G$の単位元と呼ぶ。

紛らわしくなければ、$G$の単位元$e_{G}$を単に$e$と書くことにする。

$(3)$の$x$を$a$の逆元と呼び、$a^{-1}$と書く。

また、群$(G,circ)$が次の$(4)$をみたすとき、特に可換群とかアーベル群とか加法群という。

$(4)$(交換法則)$forall a,bin G, acirc b=bcirc a$

演算が明らかなときは、$(G,circ )$を単に$G$と書いたりするし、$acirc b$を単に$ab$と書いたりする。

濃度が有限の群を有限群と呼び、そうでない群を無限群という。

有限群の濃度を、その群の位数という。

また、$gin G$に対してある$nin mathbb{N}$${0}$で$g^{n}=e$となるとき、そのような$n$の最小値を$g$の位数という。

 

例$2$ 身近な群の例

 たとえば$mathbb{Z},mathbb{Q},mathbb{R},mathbb{C}$はそれぞれ足し算において$0$を単位元とする加法群である。

また、$mathbb{Q}$${0}$,$mathbb{R}$${0}$,$mathbb{C}$${0}$はそれぞれ掛け算において$1$を単位元とするアーベル群である。 

※$mathbb{Z}$${0}$が掛け算で群になるとか書いてしまっていましたが、誤りです。訂正しました。(10月24日追記。)

 

例$3$ 行列の成す群

$mathbb{R}$上の$n$次正則行列全体を$GL_{n}(mathbb{R})$と書き、これは普通の積で群を成すので一般線形群と呼ぶ。

また、$GL_{n}(mathbb{R})$の元のうち行列式が$1$となるもの全体も同じように群をなすが、これを$SL_{n}(mathbb{R})$と書き特殊線形群と呼ぶ。

 

例$4$ 対称群

$[n]={1,2,…,n}$に対して置換$σcolon [n] o [n]$全体が写像の合成で成す有限群を$n$次対称群と呼び、$mathfrak{S}_{n}$と書く。

 

例$5$ 群の直積

各$i=1,2,…,n$で$G_{i}$が群のとき、$Gcolon =G_{1} imes G_{2} imes … imes G_{n}$に次のように演算を入れる;

$a=(a_{1},...,a_{n}),b=(b_{1},...,b_{n})in G$に対して$ab=(a_{1}b_{1},...,a_{n}b_{n})$

すると$G$は群になる。

 

群の簡単な性質を見てみる。

 

命題$6$ 群の簡単な性質

 群$G$に対して次が成り立つ。

$(1)$$G$の単位元の存在は一意である。

$(2)$$G$の各元に対してその逆元の存在は一意である。

$(3)$$a,bin G$なら$(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$である。

$(4)$$ain G$なら$(a^{-1})^{-1}=a$である。 

(証明)

略。$■$

 

 定義$7$ 部分群

 $Gcolon$群、$Hsubseteq G$で、$H$は$G$の演算で群を成すとする。

このとき、$H$は$G$の部分群であるといって、$Hle G$と書く。

特に${e},Gle G$を自明な部分群という。

 

定義$8$ 便利な記号

$Gcolon$群、$A,Bsubseteq G$のとき、

$ABcolon={abmid ain A,bin B}$、$A^{-1}colon={a^{-1}mid ain A}$という意味にする。

 

命題$9$ 部分群

$Gcolon$群、$Hsubseteq G$で次は同値。

$(1)Hle G$である。

$(2)HHsubseteq H$かつ$H^{-1}subseteq H$である。

$(3)HH^{-1}subseteq H$である。

$(4)H^{-1}Hsubseteq H$である。

 (証明)

略。$■$

 

 命題$10$

$Hsubseteq G$のとき次が成り立つ。

$(1)e_{H}=e_{G}$である。

$(2)$ 各$ain H$で、$a$の$H$での逆元は$G$での逆元と一致する。

 (証明)

$(1)$$H$において$e_{H}e_{H}=e_{H}$である。

$G$における$e_{H}$の逆元を$xin G$としてそれを掛けると$e_{H}=e_{G}$となる。

$(2)$任意の$ain H$を考える。

$H,G$での$a$の逆元をそれぞれ$xin H,yin G$とすると、$(1)$より$e_{H}=e_{G}=e$と書けるので

$x=ex=(ya)x=y(ax)=ye=y$となる。$■$ 

 

例$11$ 身近な部分群の例

$2mathbb{Z}lemathbb{Z}lemathbb{Q}lemathbb{R}lemathbb{C}$とか$SL_{n}(R)le GL_{n}(R)$とか。

 

 例$12$ 部分群じゃない例

 $mathbb{Z}$は足し算で群だけど$mathbb{N}subseteqmathbb{Z}$は部分群でない。

 

例$13$ 中心 

$Gcolon$群に対して$Z(G)colon={zin Gmidforall gin G,zg=gz}$を$G$の中心という。

 

部分群の簡単な性質を見てみる。 

 

命題$14$ 部分群の簡単な性質

$(1)Acolon$添字集合で各$alphain A$で$H_{alpha}le G$のとき$cap_{alpha in A}H_{alpha}le G$となる。

$(2)H,Kle G$のとき、$HKle GLeftrightarrow HK=KH$である。

 (証明)

略。$■$

 

定義$15$ 部分群の生成

$Gcolon$群、$Sle G$のとき、$S$を含む$G$の部分群全体を$A$で添字づけて${H_{alpha}}_{alpha in A}$とする。

このとき、$cap_{alphain A}H_{alpha}le G$を$S$で生成される$G$の部分群と呼び、$<S>$と書く。

これは、$<S>={s_{1}^{e_{1}}…s_{n}^{e_{n}}mid各s_{i}in S,e_{i}=pm1,ninmathbb{N}}$とも書ける。

(証明)

$S={s_{1}^{e_{1}}…s_{n}^{e_{n}}mid各s_{i}in S,e_{i}=pm1,ninmathbb{N}}$とおいて、$<S>=S$を示す。

 $Ssubseteq <S>$はいい。

また、$SS^{-1}subseteq S$より$Sle G$なので$<S>subseteq S$である。

よって、$<S>=S$となる。$■$

 

定義$16$ 巡回群

群$G$と位数$n$の元$ain G$について、$<a>={e,a,a^{2},...,a^{n-1}}$を$a$の巡回群という。

 

定義$17$ 正規部分群

$Hle G$について、各$ain G$で$aH=Ha$が成り立つとする。

このとき$H$は$G$の正規部分群であるといって、$Hunlhd G$と書く。

ただし${a}H$を単に$aH$と書いた。

 

例$18$ 正規部分群の例

$G$がアーベル群なら各部分集合$Hsubseteq G$は正規部分群である。

$G$が群のときその中心$Z(G)$は正規部分群である。

 

命題$19$ 正規部分群の簡単な性質

$Hle G$について、次は同値。

$(1)Hunlhd G$である。

$(2)forall gin G,gHg^{-1}subseteq H$である。

$(3)forall gin G,gHg^{-1}=H$である。 

(証明)

略。$■$

 

命題$20$ 正規部分群の簡単な性質その$2$

群$G$の部分集合とかについて次が成り立つ。

$(1)添字集合A$で$各ain A$で$H_{alpha}unlhd G$のとき、$underset{alphain A}{cap}H_{alpha}unlhd G$となる。

$(2)Hle G,Nunlhd G$のとき$HNunlhd G$となる。

$(3)$(2)と同じ条件で、$Hcap Nunlhd G$となる。

$(4)H,Kunlhd G$のとき$HKunlhd G$となる。 

(証明)

略。$■$

 

定義$21$ 左剰余類、右剰余類

$Hle G$として、$G$上の同値関係$~$を$a~boverset{def}{Leftrightarrow}a^{-1}bin H$で入れる。

各$a$を含む同値類は$[a]=aH$で、$G$の$H$による$a$を含む左剰余類という。

左剰余類全体$G/~$を$G/H$と書く。

右剰余類も同様に定義されて、右剰余類全体は$H$$G$と書く。

$G/H$の濃度を$G$における$H$の指数という。

 

定理$22$ ラグランジュの定理

$|G/H|=|G|/|H|$が成り立つ。

(証明)

$G$の異なる剰余類を$A$で添え字づけて${[a_alpha]}_{alphain A}$と書くと$G=underset{alphain A}{cup}a_{alpha}H$だし、各剰余類の元は$|H|$個なので$|G|=|G/H||H|$となる。$■$

 

定義$23$ 両側剰余類

$H,Kle G$で$G$上の同値関係を$a~boverset{def}{Leftrightarrow}HaK=KaH$で入れる。

このとき$G/~$を、$G$の$H,K$による両側剰余類と呼び、$H$$G/K$と書く。

 

定義$24$ 剰余群

$Hunlhd G$のとき$G/H$に$[a][b]=[ab]$で演算を入れる。

するとこの演算は$well-def.$で、$G/H$は$[e_{G}]=H$を単位元とする群となる。

 

命題$25$ 剰余群の簡単な性質

$H,Kunlhd G$のとき$Hle K$なら$K/Hle G/H$となる。

(証明)

$(K/H)(K/H)^{-1}subseteq K/H$なのでいい。$■$

 

 

とりあえずこのぐらいで。

 

 

ntpについて

2018/04/09

1.systemctl enable ntpdate.service

2.systemctl enable NetworkManager.service

3.systemctl enable NetworkManager-wait-online.service

4./etc/systemd/system/ntpdate.service.d/10network-online.confを新規作成

[Unit]
After=network-online.target
Wants=network-online.target

ネットワークがオンラインになるのを待ってから、ntpdateを動かすよう設定

昨日の5119F

2018/04/09

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昨日、藤が丘に買い物に出かけたら、5119Fが試運転をしていました。なぜか行きと帰りの両方とも藤が丘で遭遇しました。そして、夜のうちに東横線へと旅立っていったそうです(田園都市線用5000系の東横線転属は3編成目)。
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1号車

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3号車

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4・5号車は田園都市線用5000系の6ドア3両化ではじき出された4ドア車が組み込まれているので、ボロさとかLED仕様違いとか内装の違いが一目瞭然です。
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(乗り込んだ電車から)5号車アップ。

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数週間前の4号車(5405号?→5419号)。緑でした。

 この夏も一般客として見に行きました。

 ただこれまでと違い、来年夏のディーラー参加を目指し、造形している中で自分の中に生じた疑問点を他のディーラーさんはどのようにしているのかとか、クホリアで出力したフィギュアがどのようなものなのかなどを拝見させていただきました。

 また、クホリアユーザー限定で、多夢さんから現在開発中のPLAをいただきました。

 しっかりしていて、それでいて研ぎやすいとのことです。

 話を聞いているとABSよりPLAの方が扱いやすそうで、出力品を見ると、ABSで造形したものよりPLAで造形したものの方がくっきりと形が現れていたので、いただいたPLAで試してみようと思います。

 PLAはABSより固くて研ぎづらいということで避けていたのですが。

 企業ブースに叶美香さんが降臨したみたいですが、見られなくて残念です。

 みなさん、お疲れ様でした。

 

 ワンフェスに行っている間に、果南ちゃんのウエットスーツのファスナーがきちんと表現できるか3Dプリントで出力しておりました。

 当初は、ソフトに入っているブラシを使って、

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こんな感じにやってみたのですが、これを出力すると、

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どうも、細かすぎてギザギザ部分が欠けたり、穴が埋まったりしてう~んという感じでしたので、

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という感じでデフォルメして再びプリントアウトしたところ、

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とはっきりくっきりして良くなった感じがします。

 

 

 

こんにちは(^^)

台風がまた近づいてるようですね。

そして雨が続きます。。

そんな今日は、ある方のリクエストを受け購入してみました。

その名も《フルーツ甘酒》

今までプレーンの甘酒か玄米甘酒をメインにやってましたが、フルーツ甘酒があることを知らない方々が多く「是非ともアップして欲しい!」ということで急遽、こちらもピックアップさせて頂きます(^^)

 

よろしくお願い致します。

さて、今日ご紹介するのは宮崎県特産の柑橘を使用した飲み物なんですが、ここで問題です。

 

Q : 宮崎県産の柑橘「へべす」って何だかご存知でしょうか??

 

 

A : 平兵衛酢(へべす)は、みかんの仲間(^^)

・すだちより玉が大きく

・かぼすより香りが優しい

・ゆずより皮が薄くたっぷり果汁がとれると好評のようです。
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【効能】非常にビタミンCが豊富。

またタンパク質を合成する必須アミノ酸9種類のうち8種類が含まれており、健康づくり体力づくりには欠かせない一品。

 

【用途は様々】

・冷や奴

・そうめんの薬味

・鍋物

・刺身

・酢の物など

《しぼった果汁をドリンクに》

→紅茶、飲料水など。
⚪味噌汁やおすましには、みじん切りに。
⚪焼酎には輪切りで。

どんな味だろうとワクワクしてしまう「へべす 」をより取り入れ易くしたものがコチラ↓

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宮崎県 : ちほまろ 高千穂

あまざけ+植物性乳酸菌入り「へべす」甘酒です。ノンアルコール、無添加、無加糖。

 

原材料 : 棚田米(高千穂町産)、米糀(高千穂町産)、へべす果汁、植物性乳酸菌

⚪150g 159kcalと高め。

⚪値段 : 259円

*************

甘さ☺スマイル

お米の粒々は、細かな粒なので

全然気になりません。

よく発酵していてレアチーズケーキのような香りです。とろみのある口当たりで、へべすの酸味と優しい糀の甘みで甘酸っぱくサッパリした甘酒です。

シャーベットにして暑~い外で食べたいです(^^)

*************

購入場所 : 池袋ショッピングパーク
GAIA お茶の水店

 

【へべす+乳酸菌+甘酒のメリット】

・W発酵 

・ビタミンB

・アミノ酸

・ビタミンC

これが一本で摂れてしまう優れものです。

気になる方は、是非取り入れてみて下さい♬

プレーンタイプもあります↓


 《今日の心スケッチ》
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「穏やかに」

よく見るとシャチがいる

けど気にしない~笑

 

《時に加速して》

  あまざけsmileより

6/18、青森県西目屋村、津軽ダムの続き。
(→1,2-1,2-2,3,4-1,4-2,5-1,5-2,6-1,6-2)


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管理所周辺。
奥に津軽ダムが見える。


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堤体。


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天端*1。


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天端から見下ろす。


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ダムを後ろから。


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ダム湖、津軽白神湖


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ダムカード。

*1:ダムの一番上の部分

 マスターズパリパオープン、ラッキールーザーから勝ち上がった西岡選手は、2回戦第19シードのカルロビッチ選手との対戦でしたが、見事にアップセットを演じました。

  1st 2nd 3rd 4th 5th result
西岡      
カルロビッチ      


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 粘り強いプレーであきらめずカルロビッチのサーブを拾い、勝利につなげました。

 カルロビッチは調子が悪いのか本来よりも1stサービスのスピードが緩かったように感じます。調子が良い時は230キロ平均の強烈なサーブが襲いますが、今日は210キロ程度だったと思います。それでも十分な速さではありますが・・。

 それでも西岡選手は7度のブレークポイントを握られるも、これをことごとく粘りでしのぎ、1つのブレークも許しませんでした。

 対する西岡選手は4度のブレークポイントを握りましたが、その都度ナーバスになったカルロビッチがダブルフォルトで2つのブレークを許すなど、試合終了もダブルフォルトによるブレークにより西岡選手が勝利しました。

 カルロビッチ選手をこれほど苛立たせる程西岡選手は粘りを発揮していましたし、メンフィスオープン、デルレイビーチ、アカプルコと立て続けに目に見えた結果を出しています。ランキング上位だからけの戦いで今年の躍進は目覚ましい物があります。

 

 3回戦の相手はこれまたシード選手のベルディヒ選手です。

 パリパオープンはトップ32選手が全てシードとなるため、これから当たる選手は全てがトップ10レベルの実力の選手となっていきますが、いくら衰えが見られるとはいえ、今日のカルロビッチよりはテニスのプレイ幅が広く安定して上位をキープしているベルディヒ選手にどこまで食らいつけるか?

 非常に見所が多く、楽しみな試合となります。

 ナダル戦同様の挑戦者の気持ちで思いっきりプレイしてくれるのを期待します。

こんにちは。riannaです